Rumus Lingkaran

Matematika

Materi Pelajaran Kelas XI

A.   Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu tersebut adalah titik pusat lingkaran.

A.   Persamaan Lingkaran

1.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Persamaan Lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r dirumuskan sebagai berikut :

                                 x²  +  y²  =  r²

Contoh Soal :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari .

Jawab :

x² + y² = r²

x² + y² = 7²

x² + y² = 49

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 49

2.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) dan berjari-jari r dirumuskan sebagai berikut :

                                (x – a)² + (y – b)² = r²

Contoh Soal :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan melalui titik (4,6)

Jawab :

(x – a)² – (y – b)² = r²

(x – 2)² – (y – (-3))² = r²

(4 – 2)² – (6 + 3)² = r²

2² + 9² = r²

4 + 81 = r²

r² = 85

Jadi, persamaan lingkaran adalah (x – 2)² + (y + 3)² = 85

3.      Menentukan Pusat Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran :      

                             x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0

Pusat lingkaran : P(-A,-B)

Contoh :

Diketahui persamaan lingkaran x² + y² + 8x – 10y + 5 = 0. Tentukan :

a.       Pusat Lingkaran                            b. Jari-jari lingkaran

Jawab :

a.       Pusat Lingkaran

2A = 8                  A = -4

2B = -10               B = 5

Jadi, pusat lingkarannya adalah (-4, 5)

B.   Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

1.      Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

a.       Titik A(x_1, y₁) terletak di dalam lingkaran jika x₁² + y₁² < r² atau

 (x₁ – a)² + (y₁ – b)² < r²    

b.      Titik A(x_1, y₁) terletak pada lingkaran jika x₁² + y₁² = r² atau

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² = r²

c.       Titik A(x_1, y₁) terletak di luar lingkaran jika x₁² + y₁² > r²

atau (x₁ – a)² + (y₁ – a)² > r²

Contoh Soal :

Tentukan posisi titik (4,3) terhadap lingkaran x² + y² – 4x + 6y -12 = 0

Jawab :

X² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

(x² – 4x) + (y² + 6y) – 12 = 0

(x² – 4x + 4 ) + (y² + 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9

(x - 2)² + (y + 3)² – 12 = 13

(x – 2)² + (y + 3)² = 25

Titik A(4,3)

(4 – 2)² + (3 + 3)² = 2² + 6²

                             = 4 + 36 = 40 > 25

Jadi, titik A(4,3) terletak diluar lingkaran.